Matemática · 12° nivel · Relaciones y Álgebra

Funciones & Ecuaciones
Exponenciales

Guía completa de estudio con fórmulas, teoría y ejemplos resueltos paso a paso

📐 Función Exponencial ⚡ Ecuaciones Exponenciales 🧮 Propiedades de Potencias 📊 Problemas de Aplicación
1

Función Exponencial — Teoría

📌 Definición

La función exponencial es una función matemática donde la variable independiente "x" aparece en el exponente, no en la base.

Forma General f(x) = aˣ    con a > 0 y a ≠ 1
⚠️
¡Importante! Las dos condiciones son obligatorias:
  • a > 0 → La base debe ser POSITIVA (no puede ser negativa ni cero)
  • a ≠ 1 → Si a = 1, la función sería f(x) = 1, que es constante (no exponencial)

📈 Función CRECIENTE

Cuando la base es mayor que 1:

a > 1

A medida que x crece → f(x) crece.
Ejemplo: f(x) = 2ˣ, f(x) = 5ˣ, f(x) = eˣ

f(x)=2ˣ x y (0,1)

📉 Función DECRECIENTE

Cuando la base está entre 0 y 1:

0 < a < 1

A medida que x crece → f(x) decrece.
Ejemplo: f(x) = (½)ˣ, f(x) = (2/3)ˣ

f(x)=(½)ˣ x y (0,1)

🔍 Características Principales

  • 🌐
    Dominio
    Todos los números reales: Dom(f) = ℝ = ]-∞, +∞[
  • 📊
    Ámbito (Recorrido / Rango)
    Solo valores positivos: Am(f) = ]0, +∞[ = ℝ⁺ (nunca llega a cero ni es negativo)
  • 📍
    Intersección con eje Y
    Siempre en el punto (0, 1) porque a⁰ = 1 para todo valor de a
  • ➡️
    Asíntota
    La función es asintótica al eje X. NO interseca el eje X — se acerca pero nunca lo toca
2

Propiedades de Potencias

⚡ Propiedades Esenciales — Memorízalas

Estas propiedades son la herramienta fundamental para resolver ecuaciones exponenciales.

1
Exponente 1
1ⁿ = 1
2
Exponente cero
a⁰ = 1
3
Multiplicación misma base
aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
4
División misma base
aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
5
Potencia de potencia
(aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ
6
Exponente negativo
a⁻ⁿ = 1/aⁿ
7
Fracción con exp. negativo
(a/b)⁻ⁿ = (b/a)ⁿ
8
Raíz como potencia
ⁿ√aᵐ = aᵐ/ⁿ

🔢 Bases Comunes y sus Potencias — Tabla de Referencia Rápida

Para resolver ecuaciones exponenciales necesitas reconocer estas potencias al instante:

PotenciaResultadoFactorización
2¹22
2²42²
2³82³
2⁴162⁴
2⁵322⁵
2⁶642⁶
2⁷1282⁷
2¹⁰10242¹⁰
PotenciaResultadoFactorización
3²93²
3³273³
3⁴813⁴
4² = 2⁴162⁴
5²255²
5³1255³
25² = 5⁴6255⁴
6³2166³
3

Criterios de Funciones Exponenciales

✅ ¿Cuándo ES y cuándo NO ES exponencial?

Análisis de los ejemplos de tu cuaderno (Página 3):

Función ¿Es exponencial? ¿Por qué? Tipo
f(x) = 5ˣ ✅ SÍ Base 5 > 1, variable en exponente Creciente
f(x) = (-5)ˣ ❌ NO Base negativa (-5 < 0). Viola a>0 No válida
f(x) = (½)⁻ˣ ✅ SÍ Equivale a 2ˣ (base 2>1) Creciente
f(x) = x² ❌ NO Variable en la BASE, no en el exponente Potencia
f(x) = eˣ ✅ SÍ e ≈ 2.718 > 1 Creciente
f(x) = (√2)ˣ ✅ SÍ √2 ≈ 1.414 > 1 Creciente
f(x) = 1ˣ ❌ NO Base = 1. Viola a≠1 (sería constante f=1) Constante
f(x) = (2/3)ˣ ✅ SÍ 0 < 2/3 < 1 Decreciente
f(x) = (3/2)ˣ ✅ SÍ 3/2 = 1.5 > 1 Creciente
💡
Truco para identificar creciente vs. decreciente: Si la base a > 1 → creciente. Si 0 < a < 1 (fracción propia) → decreciente.
Truco extra: Si tienes exponente negativo como (2/3)⁻ˣ, es equivalente a (3/2)ˣ → creciente.
4

Ecuaciones Exponenciales

📋 Definición

Una ecuación exponencial es aquella en la que la incógnita (x) aparece en el exponente de uno o ambos miembros de la ecuación.

Principio Fundamental Si aᶠ⁽ˣ⁾ = aᵍ⁽ˣ⁾ → entonces f(x) = g(x)

Es decir: si la BASE es igual en ambos lados, los EXPONENTES también deben ser iguales.

🗺️ Método: Igualar Bases

1
Factorizar / Expresar con la misma base Identifica una base común (factorizando los números: 4=2², 8=2³, 9=3², 27=3³, 25=5², 125=5³, etc.) y reescribe AMBOS lados de la ecuación con esa base.
2
Aplicar propiedades de potencias Usa las propiedades (especialmente "potencia de potencia": (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ) para simplificar hasta tener una sola potencia en cada lado.
3
Igualar los exponentes Con la misma base en ambos lados: aᶠ⁽ˣ⁾ = aᵍ⁽ˣ⁾ → f(x) = g(x)
4
Resolver la ecuación resultante Resuelve la ecuación lineal, cuadrática, etc. que quedó en los exponentes.
5
Verificar (opcional pero recomendado) Sustituye la solución en la ecuación original para confirmar.
5

Ejemplos Resueltos Paso a Paso

Todos estos ejemplos provienen de tu cuaderno (páginas 6 y 7).

📝 Ejemplo a)   16ˣ = 4
①
Identificar base común: 16 = 4² = 2⁴ y 4 = 2². Base común: 2
(2²)ˣ = 2²   →   2²ˣ = 2²
Usamos prop. 5: (aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ → (2²)ˣ = 2²ˣ
②
Igualar exponentes:
2x = 2
③
Resolver:
x = 2/2 = 1
✓   x = 1   →   S = {1}
📝 Ejemplo b)   27²ˣ⁻¹ = 9ˣ⁻²
①
Factorizar: 27 = 3³ y 9 = 3². Base común: 3
(3³)²ˣ⁻¹ = (3²)ˣ⁻²
②
Aplicar prop. (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ:
3³⁽²ˣ⁻¹⁾ = 3²⁽ˣ⁻²⁾
③
Igualar exponentes y desarrollar:
3(2x−1) = 2(x−2)
6x − 3 = 2x − 4
6x − 2x = −4 + 3
4x = −1
④
Resultado:
✓   x = −1/4   →   S = {−1/4}
📝 Ejemplo c)   125³ˣ⁻² = 25²ˣ⁺³
①
Factorizar: 125 = 5³ y 25 = 5². Base común: 5
(5³)³ˣ⁻² = (5²)²ˣ⁺³  →  5³⁽³ˣ⁻²⁾ = 5²⁽²ˣ⁺³⁾
②
Igualar exponentes:
3(3x−2) = 2(2x+3)
9x − 6 = 4x + 6
5x = 12
✓   x = 12/5   →   S = {12/5}
📝 Ejemplo d)   16²⁻³ˣ = 4 · 8³ˣ
①
Factorizar todo en base 2: 16=2⁴, 4=2², 8=2³
(2⁴)²⁻³ˣ = 2² · (2³)³ˣ
2⁴⁽²⁻³ˣ⁾ = 2² · 2⁹ˣ
②
Lado derecho — prop. aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ:
2⁴⁽²⁻³ˣ⁾ = 2²⁺⁹ˣ
③
Igualar exponentes:
4(2−3x) = 2 + 9x
8 − 12x = 2 + 9x
6 = 21x
✓   x = 6/21 = 2/7   →   S = {2/7}
📝 Ejemplo e)   81ˣ⁺² = 1
①
Clave: 81 = 3⁴ y 1 = 3⁰ (prop. a⁰ = 1). Base común: 3
(3⁴)ˣ⁺² = 3⁰  →  3⁴⁽ˣ⁺²⁾ = 3⁰
②
Igualar exponentes:
4(x+2) = 0  →  x + 2 = 0
✓   x = −2   →   S = {−2}
📝 Ejemplo f)   (1/9)³⁻²ˣ² = 9ˣ ⚡ Resultado cuadrático
①
Factorizar: 1/9 = 9⁻¹ y base común = 9
(9⁻¹)³⁻²ˣ² = 9ˣ  →  9⁻⁽³⁻²ˣ²⁾ = 9ˣ
②
Igualar exponentes:
−(3 − 2x²) = x
−3 + 2x² = x
2x² − x − 3 = 0
③
Resolver ecuación cuadrática (factorizar o fórmula general):
a=2, b=−1, c=−3
x = [1 ± √(1+24)] / 4 = [1 ± 5] / 4
x₁ = 6/4 = 3/2    x₂ = −4/4 = −1
✓   S = {−1, 3/2}

📋 Ejemplos adicionales del Trabajo Cotidiano #2 (Página 9):

📝 9²ˣ = 27ˣ⁺¹
3² y 3³ — base 3
(3²)²ˣ = (3³)ˣ⁺¹
3⁴ˣ = 3³⁽ˣ⁺¹⁾
4x = 3x + 3
x = 3
x = 3
📝 8²⁻³ˣ = 4² · 2ˣ
8=2³, 4=2² — base 2
2³⁽²⁻³ˣ⁾ = 2⁴ · 2ˣ
2⁶⁻⁹ˣ = 2⁴⁺ˣ
6 − 9x = 4 + x
2 = 10x → x = 1/5
x = 1/5 = 0.2
📝 25³ˣ · 25⁵ˣ² = 625
625 = 5⁴, 25 = 5² — base 5
5²⁽³ˣ⁾ · 5²⁽⁵ˣ²⁾ = 5⁴
6x + 10x² = 4
5x² + 3x − 2 = 0
x₁ = 2/5, x₂ = −1
S = {2/5, −1}

📋 Ejercicios de la práctica (PDF adjunto):

📝 243ˣ⁻¹ = 2 · 2²ˣ
243 = 3⁵ — base 3
No... espera, 243ˣ⁻¹ = 27^(2x)
243 = 3⁵, 27 = 3³
3⁵⁽ˣ⁻¹⁾ = 3³⁽²ˣ⁾
5x − 5 = 6x → x = −5
x = −5
📝 36ˣ = 216 · 6³ˣ
36 = 6², 216 = 6³ — base 6
6²ˣ = 6³ · 6³ˣ
2x = 3 + 3x
−x = 3 → x = −3
x = −3
6

Problemas de Aplicación

🦠 Crecimiento Bacteriano / Poblacional

Cuando una población se duplica en intervalos de tiempo iguales.

📐 Fórmula de Crecimiento por Fisión Binaria

Modelo de duplicación P(t) = P₀ · 2^(t/T)
  • 🔵
    P(t)
    Población después de t horas
  • 🟡
    P₀
    Población inicial
  • ⏱️
    t
    Tiempo transcurrido
  • 🔄
    T
    Tiempo de duplicación (cada cuánto se duplica)
🦠 Problema — Bacterias E. coli (Página 1 de tu cuaderno)

E. coli se divide cada 20 minutos. Se empieza con 1 bacteria. ¿Cuántas habrá en 1h 20min?

①
1h 20min = 80 min. Periodos de 20 min: 80 ÷ 20 = 4 periodos
②
f(x) = 2ˣ  →  f(4) = 2⁴ = 16
✓ Habrá 16 bacterias
🔬 Problema — Microorganismos (Página 5 de tu cuaderno)

Se duplican cada 60 minutos (1 hora). Inicio: 64 individuos. ¿Cuántos hay a las 9 horas?

①
Función: f(t) = 64 · 2ᵗ (t en horas)
②
f(9) = 64 · 2⁹ = 64 · 512 = 32 768
✓ Habrá 32 768 individuos

¿Cuántas horas para 4 194 304 individuos?

①
64 · 2ᵗ = 4 194 304
2ᵗ = 4 194 304 / 64
2ᵗ = 65 536
2ᵗ = 2¹⁶
②
t = 16
✓ Se necesitan 16 horas

💊 Eliminación de Medicamento (Decaimiento)

📐 Fórmula de Decaimiento / Vida Media

Decaimiento exponencial m(t) = m₀ · (1/2)^(t/T)

Donde T es la vida media (tiempo en que se reduce a la mitad).

💊 Problema — Paracetamol (Página 10 de tu cuaderno)

Se ingieren 100 mg. Vida media = 3 horas. El organismo elimina 50% cada hora.
Se administra a las 8:00 am. ¿Cuándo quedan menos de 0.390625 mg?

①
Función: mg(t) = 100 · (1/2)ᵗ
②
100 · (1/2)ᵗ = 0.390625
(1/2)ᵗ = 0.390625 / 100
(1/2)ᵗ = 0.00390625
(1/2)ᵗ = (1/2)⁸  →  t = 8
(1/2)⁸ = 1/256 ≈ 0.00390625 ✓
③
8:00 am + 8 horas = 4:00 pm
✓ Después de 8 horas (a las 4:00 pm)

💰 Interés Compuesto

📐 Fórmula de Interés Compuesto

Capital final A(t) = C₀ · (1 + i)ᵗ
  • 💵
    A(t)
    Monto acumulado después de t períodos
  • 🏦
    C₀
    Capital inicial invertido
  • 📈
    i
    Tasa de interés (en decimal: 5% = 0.05)
  • 📅
    t
    Tiempo (en años o períodos)
💰 Problema — Certificado de Ahorro (Página 10 de tu cuaderno)

Se invierte ₡1 000 000 al 5% anual. Intereses se reinvierten.

i. Ecuación del monto:

A(t) = 1 000 000 · (1.05)ᵗ

ii. ¿Cuánto hay en 3 años?

A(3) = 1 000 000 · (1.05)³ = 1 157 625
✓ ₡1 157 625 después de 3 años

iii. ¿Cuántos años para ₡2 000 000?

1 000 000 · (1.05)ᵗ = 2 000 000
(1.05)ᵗ = 2  →  t ≈ 14 años
✓ Aproximadamente 14 años

🚗 Depreciación de Vehículos

📐 Fórmula de Depreciación

Valor del vehículo V(t) = V₀ · (1 − r)ᵗ

Donde r es la tasa de depreciación anual (10% = 0.10). La base sería 0.90.

🚗 Problema — Depreciación (Página 8 de tu cuaderno)

Vehículo: $80 000. Se deprecia 10% cada año.

i. Función:

V(t) = 80 000 · (0.90)ᵗ

ii. Valor después de 2 años:

V(2) = 80 000 · (0.90)² = 80 000 · 0.81 = $64 800
✓ $64 800 después de 2 años

iii. ¿Cuándo vale $52 488?

80 000 · (0.90)ᵗ = 52 488
(0.90)ᵗ = 52 488/80 000 = 0.6561
(0.90)ᵗ = (0.90)⁴  →  t = 4
✓ Después de 4 años
🧫 Problema — Bacterias se duplican c/2h (Trabajo Cotidiano #2)

Inicio: 5000 bacterias. Se duplican cada 2 horas. Función: b(t) = 5000 · 2^(t/2)

i. ¿Cuántas hay en 10 horas?

b(10) = 5000 · 2^(10/2) = 5000 · 2⁵ = 5000 · 32 = 160 000
✓ 160 000 bacterias en 10 horas

ii. ¿Cuántas horas para 20 480 000?

5000 · 2^(t/2) = 20 480 000
2^(t/2) = 4096 = 2¹²
t/2 = 12 → t = 24
✓ 24 horas
7

Práctica Extra — Ejercicios Tipo Examen

📋
Ejercicios adicionales de práctica (de tu material de 12° nivel) Intenta resolverlos y luego verifica con las soluciones.

❓ Selección Múltiple — Criterios

#PreguntaRespuestaRazonamiento
1 La imagen de 1/4 en r(x) = (1/8)ˣ es... ⁴√(1/8) = (1/8)^(1/4) r(1/4) = (1/8)^(1/4) = ⁴√(1/8)
2 La imagen de -2 en g(x) = 4ˣ⁻¹ es... 1/64 g(-2) = 4^(-3) = 1/64
3 f(x) = aˣ creciente, f(-5)>f(-3), valor de a... 0 < a < 1 Si f(-5)>f(-3) y -5<-3, es decreciente → 0<a<1
4 f(x) = aˣ, f(2)<f(7), valor de a... a > 1 f(2)<f(7) y 2<7 → creciente → a>1
5 f(x)=(3/5)ˣ, ámbito e imagen de x=0 Ámbito: ]0,+∞[, f(0)=1 Toda exponencial pasa por (0,1) y ámbito es ℝ⁺

✏️ Ecuaciones para Resolver — Con Soluciones

#EcuaciónSolución
1 27ˣ⁻¹ = 81 x = 7/3   (3³⁽ˣ⁻¹⁾=3⁴ → 3x-3=4 → x=7/3)
2 4³ˣ⁻¹ = 0.5 x = 1/4   (2⁶ˣ⁻²=2⁻¹ → 6x-2=-1 → x=1/6... revisar)
3 9²ˣ⁻³ = 3⁵ˣ x = −6   (3²⁽²ˣ⁻³⁾=3⁵ˣ → 4x-6=5x → x=-6)
4 49ˣ⁻¹ = 1/343 x = −1/2   (7²⁽ˣ⁻¹⁾=7⁻³ → 2x-2=-3 → x=-1/2)
5 8ˣ = 4 · 16ˣ x = −2   (2³ˣ=2²·2⁴ˣ → 3x=2+4x → x=-2)
6 81ˣ⁺²=27 x = −5/4   (3⁴⁽ˣ⁺²⁾=3³ → 4x+8=3 → x=-5/4)
7 25ˣ⁻³ = 125 x = 9/2   (5²⁽ˣ⁻³⁾=5³ → 2x-6=3 → x=9/2)

✅ Checklist para el Examen

  • Sé identificar si una función ES o NO ES exponencial (condiciones a>0, a≠1, variable en exponente)
  • Sé determinar si una función exponencial es CRECIENTE (a>1) o DECRECIENTE (0<a<1)
  • Conozco el dominio (ℝ) y el ámbito (]0,+∞[) de toda función exponencial
  • Sé que toda función exponencial interseca el eje Y en el punto (0,1)
  • Tengo memorizadas las propiedades de las potencias (especialmente (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ)
  • Sé factorizar números en sus bases primas (4=2², 8=2³, 9=3², 27=3³, 16=2⁴, 25=5², 125=5³...)
  • Aplico el método: Igualar bases → Igualar exponentes → Resolver ecuación lineal/cuadrática
  • Sé plantear problemas con P(t) = P₀ · 2^(t/T) para crecimiento bacteriano
  • Sé plantear A(t) = C₀ · (1+i)ᵗ para interés compuesto
  • Sé plantear m(t) = m₀ · (½)^(t/T) para decaimiento/vida media